, . (, , 2x^3+4=O(2^n), , 2x^3+4=O(x^3).)
, , n. , T(n)=an+b. , :
an+b = a(n-1)+b + an/2+b + n
0 = (a/2+1)n + (b-a)
, a=-2 b=a=-2. T(n)=-2n-2 .
, . U(n)=T(n)+2n+2.
U(n)-2n-2 = U(n-1)-2(n-1)-2 + U(n/2)-2(n/2)-2 + n
U(n) = U(n-1) + U(n/2).
U(n)=0 , ?
, U(n)∈Θ(n^k) k>0, U(n)=cn^k+o(n^k).
cn^k+o(n^k) = c(n-1)^k+o((n-1)^k) + c(n/2)^k+o((n/2)^k)
(n-1)^k=n^k+Θ(n^{k-1}),
cn^k+o(n^k) = cn^k+Θ(cn^{k-1})+o(n^k+Θ(n^{k-1})) + cn^k/2^k+o((n/2)^k)
cn^k,
o(n^k) = cn^k/2^k
, , . , U(n-1)+U(n/2) , U(n), , U(n) , Θ(n^k). k, U(n) , .
, , . , , U(n)∈Θ(c^n) c>1, U(n)=ac^n+o(c^n).
ac ^ n + o (c ^ n) = ac ^ {n-1} + o (c ^ {n-1}) + ac ^ {n/2} + o (c ^ {n/2})
,
c^n = o(c^n)
(), , . ,
U(n) , U(n-1)+U(n/2), , U(n) , Θ(c^n). c>1, U(n) .
, ln U(n)∈O(log^c n) , ln U(n)∈O(n^ε). , L(n):=ln U(n), , L(n)∈ω(ln n)∩o(n). ,
ln U(n) = ln( U(n-1) + U(n/2) ) = ln U(n-1) + ln(1+ U(n/2)/U(n-1))
L(n) = L(n-1) + ln( 1 + e^{-L(n-1)+L(n/2)} ) = L(n-1) + e^{-(L(n-1)-L(n/2))} + Θ(e^{-2(L(n-1)-L(n/2))})
, : L(n-1)-L(n/2)? , L(n-1)-L(n/2)→∞, L(n)∈Ω(n). , L(n)-L(n/2) , L(n)-L(n-1)∈o(1) L(n-1)-L(n/2).
, , . , L(n)-L(n/2) ( ). , , : " CS-".